יסאלקהו קיתעה םלועה 5-ה האמה דעו ס הפל הירטמואיג

Transcript

1 העולם העתיק והקלאסי לפה ס ועד המאה ה- 5 גיאומטריה נאסף ונערך בעברית ע י פרופ צבי קם

2 לפה"ס בבבל (שומר) במסופוטמיה - טבלאות אורכי צלעות במשולשים ישרי זוית (3,4,5)(5,12,13 שימוש לטבלאות כפל לפה"ס אחמס Ahmes כותב את הפפירוס מריינד - Rhind חוקי חלוק ו- 87 בעיות מתמטיות כולל פתרון משוואות ונפחים לפה"ס תלס Thales of Miletus מפתח גיאומטריה של משולשים. מעגל - כל הנקודות עליו במרחק שוה ממרכזו = הרדיוס. משולש הנשען על מיתר חצי מעגל יוצר זוית ישרה. אליפסות: סכום המרחקים משתי נקודות הפוקוס לכל הנקודות עליה קבוע. ציור אליפסה - חוט ושני נעצים.

3 חוק החוצים של תלס - יחסים בין משולשים דומים. הקוים DE ו- BC מקבילים (יוצרים זויות שוות עם AB או ( EC דמיון צורות גיאומטריות

4 BC פיטגורס Pythagoras of Samos

5 פיטגורס היה סטודנט של תלס. אמונה ביופי של מספרים שלמים ושברים. מקיש עובדות גיאומטריות מעקרונות בסיסיים- הוכחה גיאומטרית: משפט פיטגורס הידוע למיתר במשולש ישר זוית - ראה הוכחות לעיל : סכום זויות המשולש הוכחה ויזואלית פשוטה

6 הוכחה פורמאלית: נשתמש בחוק הזויות המתחלפות (אוקלידס הנחה חמישית) אם הקוים p ו- q מקבילים הזויות x,y שקו שרירותי יוצר עם q שוות לזויות המתחלפות שאותו קו יוצר עם p נצייר את המשולש נבנה קו מקביל לבסיסו העובר דרך קדקודו והזיות המתחלפות a,c ולכן - a+b+c=180

7 סכום זויות פנימיות של פוליגון עם n צלעות (2-n)180 סכום הזויות החיצוניות 360

8 הוכחה: מקדקד אחד של הפוליגון נצייר קוים אל כל שאר הקדקדים מלבד שני הקדקדים הסמוכים לו. נוצרו 3-n קוים המחלקים את הפוליגון ל 2-n משולשים. סכום הזויות הפנימיות שלהם שוה לסכום הזויות הפנימיות של הפוליגון. להדגמה לפנטגון: הוכחת סכום הזויות החיצוניות: נסמן את הזויות הפנימיות ב- ai SUM [n(180-ai)] = 180n - SUM[ai] = 180n-180(n-2)=180*2=360 הסבר באופן אינטואיטיבי מדוע הסכום קבוע למרות שמוסיפים עוד צלעות? יותר צלעות - אבל כל צלע בזוית קרובה יותר לקודמתה.

9 500 לספירה - אריאבהטה המתמטיקאי ההודי מתאר פונקציות טריגונומטריות: סינוס וקוסינוס בעתיד נלמד את חוק הקוסינוס ] 2 [ a 2 +b 2-2ab cos(θ)=c 550 לפה"ס פיטגורס ניסח את החוק: אם זוית המשולש ישרה אז a 2 + b 2 = c 2 וההפך אם הזוית>< 90 0 אז גם a 2 + b 2 >< c 2 הרבה פעמים יש דרכים שונות להוכיח משפט מתמטי. נראה כמה דרכים 1. הוכחה על סמך משולשים דומים a/c=e/a b/c=d/b a 2 =c*e b 2 =c*d a 2 +b 2 =c*(e+d)=c 2

10 ABD =~FBC Proposition 47 in Book 1 47 משפט 1 בספר אוקלידס 2. שוות ביניהם וזוית a=ab,b=ac צלעות חופפים: הכחולים המשולשים שני ABD=1/2BDLK FBC=1/2BAGF BDLK הורוד המרובע משטח חצי הוא ABD המשולש שטח שוה BK והגובה משותף BD והבסיס מאחר BAGF המרובע משטח תצי הוא FBC המשולש שטח גם וכך BDLK=BAGF=AB 2 =a 2 ולכן CKLE=ACIH=AC 2 =b 2 גם וכך AB 2 +AC 2 =BDLK+CKLE=BC 2 ולכן a 2 + b 2 = c 2

11 3. הוכחה אלגברית. שטח הריבוע = סכום חלקיו c 2 =(b-a) 2 +4*ab/2 = a 2 +b 2

12 שטח הרבוע הגדול (a+b) 2 = הוא מורכב מארבעה משולשים בשטח ab ומריבוע בשטח c 2 (a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2 =c 2 +4ab/2 a 2 +b 2 =c 2

13 למשפט פיתגורס קיימים ערכים שלמים כמו 3,4,5 או 5,12,13 האם יש אינסוף שלשות מספרים שלמים (פרימיטיביות) המקיימות יחס זה? )5,4,3( )13,12,5( )17,15,8( 25,24,7() (20, 21, 29) (12, 35, 37) (9, 40, 41) (28, 45, 53) (11, 60, 61) (16, 63, 65) (33, 56, 65) (48, 55, 73) (13, 84, 85) (36, 77, 85) (39, 80, 89) (65, 72, 97) אוילר הראה כי אפשר לקבל עבור כל n,m את כל השלשות הפרימיטיביות והכפלה במספר שלם נותנת את כל השלשות האפשריות האם יש שלשות מספרים שלמים המקיימים עבור 2<n : a n +b n =c n פרמה Fermat כתב הערה בשולי ספר שהצליח להוכיח כי אין מספרים כאלה. ההוכחה נתנה רק לאחרונה: ויילס ב- 1995

14 3 בעיות מרכזיות במתמטיקה היוונית שהוגדרו ע"י פיתגורס

15 סכום הזויות בפוליגון עם n צלעות = 180*(2-n) צלע פוליגון שוה צלעות מתוך רדיוס המעגל החוסם והחסום A=2r sin(180 /n)=2r tan(180 /n) x = ((n- 2)π / n) radians = (((n- 2)/n) x 180 ) degrees y = (2π / n) radians = (360 / n) degrees חישוב : π ראה ארכימדס בהמשך הפרק ע"י בניה גיאומטרית פתר את המשוואה a(a+x)=x 2 (ראה חתך זהב פרק א. 1.1 ) מספרים אירציונאליים (הוכחה ש- 2 אינו רציונאלי - ראה פרק א. 1.1 )

16 תרומות לאסטרונומיה של פיתגורס: הארץ הוא כדור במרכז העולם, מסלול הירח נוטה כלפי קו המשוה של הארץ, ונוס כוכב הערב זהה לונוס כוכב הבוקר.

17 פיטגורס: 3 גופים סימטריים עם פאות וצלעות שוות: טטרהדרון, אוקטהדרון וקוביה אפלטון: שני גופים נוספים איקוזהדרון ודודקהדרון אוקלידס: הוכיח כי אין יותר גופים כאלה ארכימדס: תאר גופים עם צלעות שוות אך פאות שונות 3 פוליטופים רגולאריים של פיתגורס +2 נוספים של אפלטון

18 חמישת הגופים המשוכללים של אפלטון אפלטון חמשת הפוליטופים הרגולארים טטראדר, קוביה, אוקטאדר, דודקאדר ואיקוזאדר אותו מספר צלעות נפגשות בכל הקדקדים וכל המאות שוות

19 פריסות הגופים המשוכללים:

20 ולכן נוסחת אוילר: לכל פיאון (פוליהדרון ( קמור - מספר פאות פלוס מספר קדקדים מינוס מספר צלעות =2 אם מדובר בפיאונים משוכללים: f פאות, לכולן אותו מספר צלעות, n, ובכל קדקד נפגשים m פאות. מספר הצלעות = n/2 f * ומספר הקדקדים = f*n/m לפי נוסחת אוילר זו משוואה דיאופנטית ועבור m,n>2 יש לה 5 פתרונות (ראה 5 הגופים המשוכללים של אפלטון בפרק גיאומטריה) הרחבה: מספר פאות פלוס מספר קדקדים מינוס מספר צלעות = 2 פחות פעמיים מספר החורים משפט אוילר תקף גם לגרף מישורי (הקשתות אינן נחתכות) וקשיר (מסלול מכל קדקד לכל קדקד): מספר קשתות פלוס מספר הפאות מינוס מספר הצמתים =2 הוכחה: נמחוק קשתות המשתתפות במעגל החיצון: מוריד מספר קשתות באחד ומספר פאות באחד. לאחר שלא נותר מעגל נשאר עץ ופאה אחת. נמחק צומת וקשת, עד שנשארים עם צומת אחת וקשת אחת.

21 ארכימדס תיאר 13 גופים שבקדקדיהם נפגשים אותו מספר צלעות אך פאותיהם אינן זהות

22 כדורגל כיפה גיאודזית Buckminster Fuller גרפין Nobel, 2010 A.Geim and K.Novoselov ננו-צינוריות C 60 Buckball (Fullerine) H.Kroto, R.Curl and R.Smalley Nobel 1996

23 מרכז כובד של משולש הוא במפגש חוצי הצלעות: הוכחה בעזרת חלוקה אינפיניטסימאלית איך להוכיח ששלשת החוצים נפגשים בנקודה אחת? בהמשך. דיאגרמה יונית המסבירה את סה"כ הדרך שעושה גוף עם תאוצה קבועה כגון בנפילה חפשית

24 ריבוע המעגל השימוש במונח מתייחס למציאת צלע ריבוע ששיטחו שוה לשטח המעגל עם קטר נתון. ארכימדס הוכיח ששטח המעגל שוה לשטח משולש ישר זוית עם צלעות באורך הרדיוס והקפו בהתאמה. r 2πr רעיון ההוכחה הוא: ריבוע החסום בכדור מחולק ל- 4 משולשים ישרי זוית עם צלע h ובסיס b=2h שטח הריבוע החסום = 4 פעמים שטח המשולש = 2hb שטח זה שוה לשטח משולש בגובה h ובסיס 4b שהוא הקף הריבוע החסום. קירוב טוב יותר - אוקטגון. גם האוקטגון מתחלק למשולשים ישרי זוית שגבהם כמרחק בין המרכז לאמצע צלעות האוקטגון. גם שטחם הוא גובה המשולשים כפול הקף האוקטגון. נוכל כך להמשיך בפוליגון חסום עם 16 צלעות וכו'. אם אנו בשלב של פוליגון עם n צלעות עבור n מאד גדול גובה המשולשים מתקרב לרדיוס המעגל, והקף הפוליגון מתקרב להקף המעגל. ולכן: ½ base height = ½ 2 π r r = π r 2

25 A=RS/2 בצורה אחרת: הקשר בין רדיוס R שטח המעגל A והקפו S הוא:

26 הסבר אחר ניתן רבי אברהם בר חיא הנשיא (בסיפרו "חבור המשיחה והתשברת" הוצאת חברת מקיצי נרדמים, תרע"ג ברלין) וזה לשון ההוכחה: "והאות [=הוכחה] על התשבורת [=מידת השטח] הזה ידענו: אם תפתח שטח העיגול מצד אחד ותיישר כל הקוים הסובבים מקו החיצוני עד המרכז, יתפשטו המקיפים שטח העיגול ויחזרו לקוים מתמעטים והולכים עד שחוזרים אל נקודה אחת, והיא נקודת המרכז - החיצון גדול מכולם, ואשר לפנים ממנו קטן ממנו וגדול מאשר לפנים ממנו, וכן הולכים עד הנקודה, ובזה נולדה לנו צורת המשולש, ותשבורת המשולש כבר בארנו, היא כדי העמוד [=גובה] בחצי התושבת [=בסיס], וזה מחצית הקוטר [=רדיוס] במחצית הקו המקיף [=הקף]" אנו נכתוב: 2πR*R/2 πr 2 = כך גם הקשר בין שטח פני הכדור וניפחו, המורכב מפירמידות בגובה הרדיוס שסכום שטח בסיסם הוא שטח פני הכדור. אנו נכתוב: 3/R 4/3πR 3 = 4πr 2 *

27 הנ"ל קושר את נוסחאות השטח וההקף לאותו יחס גודל π אך ארכימדס גם חישב ערך של π בדיוק רב מהקף פוליגון עם <- n נובע מנוסחת אינדוקציה המבוססת על משפט פיטגורס: ידוע צלעות משושה מתוך הצלעות של פוליגון עם 6n צלעות חישב צלעות פוליגון של 12n צלעות

28 אם נצייר בתוך מעגל עם רדיוס = 1 ששה משולשים שוי צלעות - מאחר וזויות קדקדיהם 180/3=60 הם יוצרים משושה החסום במעגל. הקפו = 6 קטן מהקף המעגל. לכן pi גדול מ- 3. נוכל להתקרב למעגל ע"י פוליגונים עם מספר צלעות הולך וגדלץ ארכימדס היכפיל בכל שלב את מספר הצלעות: 96 48,, 24 12, 6, וכ 'ו אם נביט בדודקגון נוכל לחשב את הצלע שלו,,AB ממשפט פיטגורס: AD=1/2 CD=sqrt(1- AD 2 )=sqrt(3/4)=sqrt(3)/2 DB=1- CD=1- sqrt(3)/2 AB=sqrt(AD 2 +DB 2 )=sqrt(1/4+1+3/4- sqrt(3))=sqrt(2- sqrt(3))= pi ~< 12AB=

29 a n = K tan(π/k), b n = K sin(π/k), a n+1 = 2K tan(π/2k), b n+1 = 2K sin(π/2k), a 1 =3 tan(π/3)=3 3 & b 1 =3 sin(π/3)=3 3/2 (1/a n + 1/b n ) = 2/a n+1 a n+1 b n = (b n+1 ) 2 שימוש בטריגונומטריה:

30 6.26 והתשובה בית) (תרגיל פעמיים פיטגורס במשפט שימוש שוב - 24 פוליגון עבור למשל: הבבליות, מהטבלאות ראציונאליים בקירובים תמיד השתמש ארכימדס למעשה 265/153 < sqrt3 < 1351/780 המעגל ה את החוסמים לפוליגונים דומה סידרה חישב ואז - 96 פוליגון. עד הגיע ארכימדס 2 ( לשרש (בדומה ותחתון עליון חסם קיבל וכך מבחוץ 10/71 3 < pi < 3 1/ הוא הנכון הערך הוא החסמים של ממוצע אינפי של עקרונות על המבוסס חישוב של דוגמא זו

31 שיטת כתיבה של מספרים גדולים: מבוסס על הנוסחא: המיספור היוני הוגדר עד = 10,000 M שנקרא myriad "לא ניתן למניה", אינסוף ארכימדס החליט על "בסיס" של 10 8 שקרא לו 1st myriad 2nd myriad 3rd myriad מחשב החול": ארכימדס חישב מספר גרגרי החול שיכול להכיל העולם : בכתיבה שלנו 8x 10 63

32 טורים אינסופיים 1/4 + 1/ /4 3 + =? אם שטח הריבוע = 1, הריבועים הסגולים שוים בשטחם לצהובים שמעליהם וכן לצהובים שמימינם, ומאחר וכולם מכסים שטח = 1 סכום הסדרה 1/3. טיעון דומה למשולשים.

33 פירמידות (דלתונים) דומות: אם נכפיל צלעות פי 2 הנפח גדל פי 8- ראה איך להכניס 8 פירמידות קטנות בגדולה: 3 פירמידות נכנסות בכל אחת מהפריזמות HFGELC ו- HKFLDE כאשר שטח בסיסן וגובהם כשתי הפירמידות בפינות BKHF ו- AFGE כל מנסרה משולשת ניתן לחלק לשלש פירמידות שוות נפח

34 משפט קבאליירי Bonaventura Francesco Cavalieri נכון לשטחים ולנפחים: אם שתי צורות שוות באורך/שטח בכל חתך שלהן אזי שטחיהן/נפחיהן שווים. התמונה ממחישה ששתי ערימות המטבעות שוות בנפחן

35 לרדיוס שוים וגובהו בסיסו שרדיוס חרוט להוציא גליל נפח לפעמיים שוה כדור נפח א': דוגמא חפנ הקונוס. בלי הגליל חתך שטח גם וזה π r) 2 y- 2 ( הכדור חתך שטח חתך בכל הכדור: r 3 (1-1/3)2=4/3πr 3 הצילינדר מנפח 2/3 הכדור נפח לכן πr 3 /3 הקונוס אותו: החוסם הצילינדר בסיסיו) (כולל משטח 2/3 הוא 4πr 2 הכדור, פני שטח גם 4πr 2 +2πr 2

36 דוגמא ב': אם נקדח בכדור חור כך שתשאר מעטפת בגובה h הנפח שישאר לאחר הקידוח אינו תלוי ברדיוס הכדור. שטח הטבעת עבור מרחק y מהמרכז הוא π כפול ההפרש בין העיגול החיצוני לפנימי שהוא (r 2 -y 2 )-(r 2 -(h/2) 2 )=(h/2) 2 -y 2 ואינו תלוי ב-. r באופן אינטואיטיבי תוצאה מפתיעה זו נובעת מהעובדה שככל שהרדיוס גדל ההקף של החמר שנשאר אמנם גדל אך עוביו קטן.

37 התמונה של כדור החסום בגליל שארכימדס ביקש לצייר על קיברו, עדות לחשיבות ממצא זה בעיניו (לפי ציצרו 75 לפה"ס) ארכימדס מיחס לאיודוקסוס Eudoxus נפח פירמידה = 1/3 מנפח פריזמה עם אותו בסיס נפח קונוס = 1/3 מנפח גליל עם אותו בסיס נפחי קונוסים שוי גובה כיחס שטחי בסיסיהם נפחי קונוסים שוי גובה לגלילים כיחסי שטחי בסיסיהם וכו ' אנחנו היינו כותבים לפירמידות וקונוסים: V=A*H/3 יחס נפחי כדורים כיחס הרדיוסים שלהם בחזקה שלישית V~R 3 אנחנו היינו כותבים:

38 נפח גופי סיבוב: משפט גולדין (למעשה נוסח תחילה ע"י פאפוס) אם עקום מישורי סגור בעל שטח A מסתובב סביב ציר, כך שכל השטח (למעט נקודות שפה) נמצא בצידו האחד של הציר, ויוצר גוף סיבובי, נפחו של גוף זה שוה לשטח כפול הקף המעגל שיוצר מרכז הכובד שלו, 2πRA

39 ספירלה (של ארכימדס) משאיבה ספירלית קל לצייר במערכת צירים קטבית (מעגלית)

40 בנית צורות משחק הסטומכיון game Stomachion Taking the square as having edge lengths 12, the pieces have areas 3, 3, 6, 6, 6, 6, 9, 12, 12, 12, 12, 12, 21, and 24, giving them relahve areas 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 7, and 8. all polygons formed by connechng points on a regular square grid must have areas in the rahos of whole numbers. 536 possible dishnct arrangements of the pieces into a square

41 לפה"ס היפוקרטס Hippocrates of Chios תלמיד של פיתגורס כתב "אלמנטים של גיאומטריה (לא היפוקרטס מקוס לפה"ס " שלו מיוחסת שבועת הרופא (Hippocrates of Cos פתרון משוואות ריבועיות ע"י בניה גיאומטרית. a# c# x1 ############x2 # ######### b# ניסח לראשונה: יחס שטחי מעגלים כריבוע יחס הרדיוסים שלהם.

42 אלמנטים של אינטגראלים לבעית ריבוע המעגל. הירח של היפוקרטוס: הוכיח שהשטחים המוצלים A,a שווים. חשב שזה צעד לקשור שטח מעגל לשטח משולשים או מרובעים. R=AO r=ad=sqrt(2r 2 )/2=R/ 2 A=R 2 /2 מ.ש.ל. a=πr 2 /2- (πr 2 /4- A)=πR 2 /4- πr 2 /4+A=A

43 בניה גיאומטרית של 2 1/3 לא ניתן לבנות בסרגל ומחוגה, אבל ניתן עם neusis (התאמת קטע בין שתי עקומות כך שהמשכו יעבור בנקודה) קטע היחידה - GH בנה משולש שוה צלעות - ABC המשך את הצלע AB בעוד יחידה - לנקודה D המשך את הצלע BC לכוון E המשך DC לכוון F סובב סרגל סביב A כך שהמרחק בין חיתוכיו עם CF ו- CE בנקודות G ו- H יהיה יחידה שוה באורכו לשרש שלישי של AG 2

44 משפט אגאס - וחלוקת זוית ל- 3 אם מחלקים ריבוע לשלש ומקפלים כך שהקדקד יפול על הצלע וקוי השליש ייפגשו ב- Q אז: PB=PA* 2 1/3 וכך גם ניתן לחלק זוית לשלש כאשר הנקודה P נופלת על צלע הזוית המלאה A מחלק לשליש

45 Oenopides of Chios אנופידס מכיוס 400 לפה"ס מבדיל בין "אכסיומות" לבין "בעיות" שניתן לפתור על סמך האכסיומות, ומנסח שלש אכסיומות מתוך חמש שעליהן בנה אוקלידס :את הגיאומטריה 1. שתי נקודות מגדירות קו (יחיד) 2. קטע (חלק של קו ישר) ניתן להמשכו בקו ישר (יחיד) 3. מרכז ורדיוס מגדירים מעגל (יחיד) 4. כל הזויות הישרות חופפות 5. אם קו ישר יוצר עם שני קוים אחרים זויות (פנימיות) שסכומן אינו שוה 180 מעלות הקוים נפגשים בהמשכם לכוון שסכום הזויות פחות מ- 180 הנחה חליפית: דרך נקודה מחוץ לקו עובר קו מקביל יחיד אוקלידס גם קבע הגדרות: notions" "common 1. שני דברים (Things) השוים לדבר שלישי שוים ביניהם 2. אם מוסיפים שני זוגות ערכים שוים התוצאות שוות 3. אם מחסרים שני זוגות ערכים שוים התוצאות שוות 4. תכונה משקפת (רפלקטיבית): שני דברים חופפים שוים ביניהם 5. השלם גדול מחלקיו הוכחות הן משני סוגים: קונסטרוקטיבית, והוכחה על ידי סתירה מדדים בגיאומטריה אוקלידית: מרחקים וזויות. חופפות=מרחקים וזויות שוים. דמיון=זויות שוות, בין המרחקים יחס קבוע.

46 משפטים: 1. אם במשולש זויות הבסיס שוות השוקיים שוות ולהפך 2. סכום זויות המשולש = משפט פיטגורס 4. משפט תלס: זוית הנשענת על קוטר עיגול היא זוית ישרה 5. שטח צורות דומות יחסי לריבוע כל אחד מממדיו (אוקלידס הוכיח למיקרים מיוחדים) 6. נפח צורות דומות יחסי לחזקה שלישית של כל אחד מממדיו

47 האקדמיה באתונה אפלטון ואריסטו במרכז ציור של רפאל

48 לפה"ס אפלטון Plato לוגיקה מתמטית, יסודות הגיאומטריה מיסד את "האקדמיה". 387 לפה"ס כותב את "Phaedo" בו מתאר עצמים מתמטיים מושלמים: קו עם אורך אך ללא עובי. מושג הגדרה היפוטיזה והוכחה שסללו את הדרך לאוקלידס העולם מורכב מואקום ואטומים המתחברים ליצור את כל החמרים - דוממים וחיים אריסטו BC Aristotle תלמיד של אפלטון. העולם מורכב מארבעה "יסודות" אש, אדמה, אויר ומים. אפלטון ואריסטו היו מורים של אלכסנדר הגדול לפה"ס. ייסד את הליסאום.("Lyceum") ביסוד אמונתו שהאמת קיימת בלי תלות בנסיונות שבודקים אותה.

49 Theaetetus of Athens BC אפלטון של תלמידו תיאתטוס מספרים אוקלידס) 13 (כרך איקוזאדר אוקטאדר, - גופים של מרחבית גיאומטריה 10 כרך - ואירציונאליים רציונאליים

50 תיאטטוס Theatetus Menaechmus BC חתכי גליל וקונוס כל האפשרויות למשואות במישור xy מדרגה שניה +cx+dy+e=0 ax 2 +by 2 המשוואות ה"קנוניות" של חתכי הקונוס: X 2 +Y 2 =R 2 (X/A) 2 +(Y/B) 2 =1 Y=AX 2 Y=A/X מעגל: אליפסה פרבולה היפרבולה עיגול או אליפסה

51 -הגדרת מעגל - מרחק כל הנקודות עליו מהמרכז זהה הגדרת אליפסה - סכום המרחקים משני הפוקוסים אל הנקודות עליה זהים ציור אליפסה משני נעצים וחוט פרבולה - מחוט, שני נעצים ומשולש מוזז על סרגל היפרבולה מחוט שני נעצים וסרגל מסתובב על נעץ הוכח!

52 אפולוניוס Apollonius of Prega BC חתכי קונוס. בנה מעגל המשיק לשלשה קוים, או עובר דרך 3 נקודות

53 אוקלידס Euclid of Alexandria BC

54 אוקלידס Euclid of Alexandria BC "האלמנטים" (של המתמטיקה) ב- 13 כרכים גיאומטריה אוקלידית 13 כרכי "האלמנטים" (של גיאומטריה) מאת אוקלידס Euclid s Elements hnp://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/toc.html Book I. The fundamentals of geometry: theories of triangles, parallels, and area. Definihons Postulates Common Nohons Proposihons Book II. Geometric algebra. Definihons Proposihons Book III. Theory of circles. Definihons Proposihons Book IV. Construchons for inscribed and circumscribed figures.definihons Proposihons Book V. Theory of abstract proporhons. Definihons Proposihons Book VI. Similar figures and proporhons in geometry. Definihons Proposihons Book VII. Fundamentals of number theory. Definihons Proposihons Book VIII. Conhnued proporhons in number theory. Proposihons Book IX. Number theory. Proposihons Book X. Classificahon of incommensurables. Definihons I Proposihons 1-47 Definihons II Proposihons Definihons III Proposihons Book XI. Solid geometry. Definihons Proposihons Book XII. Measurement of figures. Proposihons Book XIII. Regular solids. Proposihons Other books: Data, On Divisions of Figures, the Phaenomena, the Op9cs Lost books: Surface Loci, Porisms, Conics, and the Pseudaria (that is, the Book of Fallacies)

55 יסודות לוגיקה מתמטית: אם. אז. הכרחי ומספיק למה, הנחה (סברה) והוכחה Lema, conjecture, proof The Original Euclid's Postulates (5) 1. For every point A and for every point B not equal to A there exists a unique line that passes through A and B. 2. For every segment AB and for every segment CD there exists a unique point E such that B is between A and E and such that segment CD is congruent to segment BE. 3. For every point O and every point A not equal to O, there exists a circle with center O and radius OA. 4. All right angles are congruent to each other. 5. (Euclid's Parallel Postulate) For every line l and for every point P that does not lie on l, there exists a unique line m passing through P that is parallel to l. Incidence Axioms (3) 1. Given 2 dishnct points there is a unique line incident with them. 2. Given a line there exist at least 2 dishnct points incidence with it. 3. There exist 3 dishnct points not incident with the same line.

56 Incidence ProposiHons 1. If 2 dishnct lines are not parallel then they have a unique common point. 2. There exist 3 dishnct lines which are not concurrent. 3. For every line there is at least one point not incidence with it. 4. For every point there is at least one line not incidence with it. 5. For every point there exist at least 2 lines incidence with it. Betweenness Axioms (4) 1. If A*B*C then also C*B*A and A, B, C are dishnct collinear points. 2. Given 2 points P and Q there exist 3 points A, B, C such that P*A*Q and P*Q*B andc*p*q. 3. Given 3 collinear points, only one of them can be between the other two. 4. (Plane Separahon) For every line l and for every 3 points A, B, C not on l, (a) IfA,B are on the same side of and B,C are on the same side of l, then A,C are on the same side of l. (b) If A, B are on the opposite sides of l and B, C are on the opposite sides of l, then A, C are on the same side of l. Corollary: (c) If A,B are on the opposite sides of l and B,C are on the same side of l, then A, C are on the opposite sides of l.

57 Betweenness ProposiHons 1. AB> [cut] BA>=AB andab> [union] BA>=<AB> 2. Every line gives exactly two mutually exclusive half- planes. 3. (a) Given A*B*C and A*C*D then B*C*D and A*B*D (b) Given A*B*C and B*C*D then A*B*D and A*C*D 4. Line Separahon Property 5. Given A*B*C then (a) AB[union]BC=AC (b) AB[cut]BC={B} (c) BA>[cut]BC>={B} (d) AB>=AC> 6. Pasch's Theorem 7. Given <CAB and a point D on the line BC, then D belongs to the interior of <CAB if and only if B*D*C. 8. If D is in the interior of <CAB then (a) so is all of ray AD except A itself (b) theoppositeofrayadiscompletelyintheexterior (c) if C*A*E then B is in the interior of <DAE 9. Crossbar Theorem

58 Congruence Axioms (6) 1. Given segment AB and any ray with vertex C, there is a unique point D on this ray such that AB CD. 2. IfAB CD andab DF thencd DF. 3. GivenA*B*C andd*e*f, ifab DE andbc EF thenac DF. 4. Given <D and any ray AB there is a unique ray AC on each half- plane of the line AB such that <BAC <D. 5. If <A <B and <A <C then <B <C. 6. (SAS Criterion) If 2 sides and the included angle of a triangle are congruent to those of another triangle, respechvely, then the two triangles are congruent. Congruence ProposiHons 1. Segment Subtrachon 2. Segment Ordering 3. Supplements of congruent angles are congruent. 4. All verhcal angles are congruent to each other. 5. An angle congruent to a right angle is a right angle. 6. Given a line l and a point P there exists a line through P perpendicular to l. 7. ASA Criterion 8. Isosceles Triangle Theorem 9. Angle Addihon 10. Angle Subtrachon 11. Angle Ordering 12. SSS Criterion 13. All right angles are congruent to each other.

59 ConHnuity Axioms (2) 1. (Circular Conhnuity Principle) If a circle has one point inside and one point outside another circle, then the two circles intersect in two points. 2. (Archimedes' Axiom) Given segment CD and any ray AB there is a number n and a point E on this ray such that n x CD AE >= AB. Parallelism Axiom (1) ï (Hilbert's Parallel Axiom) Given a line l and a point P not on l, there is at most one line through P which is parallel to l.

60 Theorems in Neutral Geometry: 1. Alternate Interior Angle Theorem and its corollaries: (a) Two lines perpendicular to another line are parallel. (b) Given a line l and a point P not on l, there is a unique line through P which is perpendicular to l. (c) Given a line l and a point P not on l, there exists a line through P which is parallel to l. 2. SAA Criterion 3. Every segment has a unique midpoint. 4. Every segment has a unique perpendicular bisector. 5. Every angle has a unique bisector. 6. Given ABC,AB>BC if and only if <C > <A. 7. Given ABC and DEF with AB DE and BC EF, then AC <DF if and only if <B < <E. 8. Triangle Inequality Theorem 9. Saccheri- Legendre Theorem 10. If there is one triangle with angle sum = 180 o then a rectangle exists. 11. If a rectangle exists then every triangle has angle sum = 180 o. 12. If there is one triangle with angle sum < 180 o then every triangle has angle sum < 180 o.

61 Note: Using Euclid's Parallel Postulate it can be proved that in Euclidean Geometry the angle sum of any triangle = 180 o. In Hyperbolic Geometry angle sum of any triangle always < 180 o whereas in Elliphc Geometry > 180 o. 13. Euclid's Parallel Postulate is equivalent to each of the following statements: (a) If two lines are cut by a transversal such that two interior angles of the same side have degree sum < 180 o then the two lines intersect on this same side. (b) Hilbert's Parallel Axiom (c) If a line intersects l then it intersects any line which is parallel to l. (d) The converse of the Alternate Interior Angle Theorem (e) If l1 //l2 and m l1 then m l2. (f) Ifl1 //l2 and m1 l1 and m2 l2 then either m1 =m2 or m1 //m2.

62 Hyperbolic Axiom (1) ï There exists a line l and a point P not on l such that there are at least two lines through P which are parallel to l. Theorems in Hyperbolic Geometry: 1. There are no rectangles. 2. Universal Hyperbolic Theorem 3. For every line l and a point P not on l, there are infinitely many lines through P which are parallel to l. 4. The angle sum of any triangle < 180 o. 5. A A A Criterion Note: It can be proved that, if Euclidean Geometry is consistent then (a) so is Hyperbolic Geometry (b) the Parallel Axiom is independent from the other axioms.

63 בנית משולש שוה צלעות: בניות גיאומטריות חצית קו לשני חלקים שוים וגם בנית אנך אמצעי:

64 משפטים בגיאומטריה במישור זויות הנשענות על אותו מיתר באותו צד של המעגל - שוות זויות הנשענות על אותו מיתר משני צידי המעגל משלימות זוית ממרבז המעגל כפולה מזוית הנשענת על אותו מיתר הוכחה: #############

65 BC Aristarchus of Samosis אריסטרכוס היה הראשון להציע שהשמש במרכז סיבוב כוכבי הלכת לזיות קטנות sin α < α < tan α sin α/sin β < α/β < tan α / tan β 0 < β < α < 90, α sin α Tan α

66 (Calculus, (אינפי ואינטגראלים דיפרנציאלים של המתמטיקה תחילת וארכימדס. אוקלידס יודוקסוס של בעבודותיהם המשיך זנו שהציג באינטרוואלים הדיון מדעיים. וגילוי להבנה עיקבית כדרך תשובה ולחפש לשאול סוקרטס את לימד כנראה זינו כלשהי. בגידה בגין למוות נידון לבסוף אויבים. לו וקנה נוח אדם היה לא הוא Neugebauer, The Exact Sciences in Anhquity, Dover, page 78. ראה π של ערכו חישוב או המעגל" "ריבוע בעית את פתר ארכימדס 3.16 בערך והשתמשו לקטר ההקף בין היחס את מדדו כנראה והבבלים המצרים ) A=(8/9d) 2 בנוסחא (השתמשו גודל אותו ע"י נקבע השטח שגם ידעו אם ברור לא π את להעריך גיאומטרית בשיטה השתמש ארכימדס

67 (יודוקסוס תיאוריה של יחסים ) כרך 5 הגדרות Eudoxus of Cnidus BC 4,5 הבסיס של חתך דדקינד Dedekind 1872 שיטת המיצוי - Exhaustion אינטגרציה של מעגל, פירמידה, חרוט שיטת המיצוי של יודוקסוס התרומה של יודוקסוס לתהליך ההתקרבות האינפיניטסימאלית לתשובה היתה בקביעת החסם עד כמה בכל שלב סופי אנו רחוקים מהתשובה (בשלב האינסופי) למשל בדוגמא לעיל: שטח הריבוע החסום EFGH הוא חצי משטח הריבוע החוסם ABCD (הוכח) מאחר והמעגל כולו בתוך ABCD ומחוץ ל- EFGH נובע מכך כי EFGH מכסה יותר מחצי שטחו של המעגל. בהמשך לאוקטגון: אנו מוסיפים משולשים כמו EPF לצידיו של הריבוע החסום. שטחו חצי משטח המרובע ELKF ואם נוסיף מרובעים כאלה לכל ארבעת פאות הריבוע החסום נקבל ריבוע החוסם את המעגל. ולכן בתוספת המשולשים לקבלת אוקטגון אנו מכסים יותר מחצי השטח במעגל הנמצא מחוץ לריבוע החסום. טיעון זה תקף בכל שלב- במעבר לפוליגון חסום עם פי שתיים צלעות אנו מכסים לפחות חצי מהשטח במעגל שנשאר מחוץ לפוליגון: אוקטגון מכסה יותר מ-משטח המעגלת 16 -גון 3/4. מכסה יותר מ- 7/8 השטח וכו'.

68 ארכימדס השתמש בגישה זו של יודוקסוס להוכיח ששטח המעגל שוה לשטח משולש ישר זוית שניצביו רדיוס המעגל והקפו: אם נניח ששטח המעגל קטן משטח המשולש, בסידרת הפוליגונים עם 4,8,16,32 צלעות נגיע לשטח הגדול משטח המשולש הנ"ל. אך שטח פוליגון זה שוה לשטח משולשים כמספר צלעותיו ושוה לשטח משולש אחד עם גובה ובסיס שוה להקף הפוליגון. אך הגובה של משולש בפוליגון חסום הוא פחות מהרדיוס והקף פחות מהקף המעגל. זו סתירה, ולכן שטח המעגל לא יכול להיות קטן משטח המשולש. אם נניח ששטח המשולש של פוליגונים חוסמים גדול משטח המעגל נגיע גם פה לסתירה. ולכן השטח של המשולש בדיוק שוה לשטח המעגל. דוגמא לטור אינסופי שלא מתכנס ל"מטרה" + 1+1/2+1/3+1/4 ארכימדס מבצע אינטגראל בביצוע החישובים של שטח המעגל ארכימדס הבין שיוכל גם לפתור שטח המעטפת של קונוס. אם נפתח את מעטפת ע"י חתך לאורך קו החוצה את קדקד הקונוס, נקבל גיזרה של מעגל. הוא גם חישב שטחי חתכי קונוס: אם חותכים במקביל לבסיס מקבלים טבעות מעגליות. ואז ניגש לחשב שטח פנים של כדור. ע"י סכום רצועות של טבעות מקבילות, כל אחת שוה בשטחה לטבעת מקונוס עם ממדים מתאימים. ואז חישב זאת למספר הולך וגדל של טבעות הולכות וצרות, ובעזרת שיטת המיצוי הראה ששטח הפנים של הכדור הוא 4πr 2 זה בדיוק התהליך של אינטגרציה.

69 Eratosthenes BC ארסטתוסטנס באלכסנדריה בסיפריה ספרן היה הארץ כדור רדיוס את מדד דומים משולשים על בהסתמך א) 3. פרק (ראה

70 להלן לקט של משפטים מהגיאומטריה היוונית, המקשרים גיאומטריה לאלגברה ביטוי לשאיפת המתמטיקאים היוונים לערוך חישובים העזרת גיאומטריה

71 AP*DP = BP*CP אפולוניוס של הנחתכים המיתרים משפט 0<P - למעגל מחוץ 0>p - המעגל בתוך דומים משולשים ADP CBP הוכחה: <BAD = <BCD שוות BD ABC = <ADC> שוות AC <APB = < CPB AP/CP = BP/DP = AB/CD : AP*DP = BP*CP AP*CD=AB*CP BP*CD=AB*DP. המיתר על הנתמכות הזויות שתי המיתר על הנתמכות הזויות שתי קדקדיות זויות לכן: או: מ.ש.ל. C" D" B" A" P"

72 "העצמה" h של נקודה P ביחס למעגל ברדיוס r h=pt 2 s=po s- r=pa s+r=pb h=s 2 - r 2 = (s- r)*(s+r) = PT 2 =PA*PB = PM*PN

73 Hipparchus of Rhodes BC היפרכוס טריגונומטריה פיתגורס) על מסתמך (אולי כשבר להכתב ניתן אינו sqrt(2) כי מצא Heron of Alexandria AD הירון גופים של ונפח פנים שטח a b' ' c צלעות בעל A משולש לשטח הירון משפט A = sort [ s(s- a)(s- b)(s- c) ] = sqrt [ (a+b+c)(- a+b+c)(a- b+c)(a+b- c) ] / 2 s=(a+b+c)/2 המשולש הקף חצי

74 K מנלאוס Menelaus of Alexandria גיאומטריה ספרית משפט מנלאוס: למשולשים במישור הוכחה: CK מקביל ל- AB כאשר K על הקו DEF ממשולשים דומים למשולשים ספריים קשר דומה אבל ל- sin

75 הכללה לפוליגון בעל n קדקדים V i וקו חותך צלע i+1 V i V בנקודה W i הסימן חיובי אם 1+i W i V ו- V i W i באותו כוון ושלילי אם בכוונים הפוכים +W n$!w n$ V n$ +W n+1$ V 1$ V n+1$ הוכחה באינדוקציה: (רמז)

76 תלמאי Claudius Ptolemy מיוחס גם לשמואל הכהן: Ptolemy s theorem משפט תלמאי BAC = BDC ADB = ACB. הוכחה: חוצה זוית ABC פוגש ב- K את AC ABK + CBK = ABC = CBD + ABD, CBK = ABD. ABK ~ DBC AK/AB = CD/BD, AK BD = AB CD, ABD ~ KBC. CK/BC = DA/BD; CK BD = BC DA; משולשים דומים לכן או והסכום AK BD + CK BD = AB CD + BC DA; (AK+CK) BD = AB CD + BC DA; AK+CK = AC, - - > AC BD = AB CD + BC DA AK CK=±AC מ.ש.ל. אם K מחוץ ל- AC

77 אחרון הגיאומטרים היונים הגדולים Papus of Alexandria פאפוס תרומות מפורסמות: תיאורמת ההיטלים ו-"משפט גולדין" 1640 לנפח גופי סיבוב היטלים - חשיבות לרישום דו-ממדי של עולם תלת ממדי - פרספקטיבה: אם במרחב שני קוים מקבילים אינם נפגשים, במישור ההיטל הם נפגשים בנקודה אחת לכל היותר. מתי לא ייפגשו?

78 יש 2 שיטות של פרספקטיבה - נקודה 1 ושתי נקודות של פגישת קוים מקבילים האנכיים זה לזה

79 תחום הרמוני Harmonic Range A" C" B" D" אם נקודות A,B על קו ישר מחולקות ביניהן (פנימי) ע"י נקודה C ןחיצונית ע"י נקודה D ביחס שוה, הינו אז AB מחולקים הרמונית ע"י CD גם CD מחולקים הרמונית ע"י AB כי CA/AD = CB/BD ו- ABCD נקראים תחום הרמוני. אם O הוא המרכז בין AB אז

80 Pappus's Harmonic Theorem נחבר לכל נקודה בתוך משולש את קדקדיו. AZD הקוים שנוצרים חותכים את צלעותיו ב WDC נמשיך את DC שיפגוש את המשך הצלע AB בנקודה Y הנקודות ABWY בציור הנ"ל יוצרות תחום הרמוני. ראה גם Menelaus theorem

81 משפט ההקסגון של פאפוס Pappus's Hexagon Theorem נקודות על קו שני DEF נקודות על קו אחד ABC הנקודות XYZ הנוצרות מפגישת הקוים המחברים את ABC ל- DEF נמצאים על קו אחד Pappus's hexagon theorem is self- dual: change 9 lines with 9 points The incidence graph of the configurahon corresponding to the theorem is the Pappus graph

82 Pappus's Hexagonal Theorem Pappus's hexagon theorem: The points X, Y, Z are concurrent when defined as in the text. The "hexagon" isabcabc. given one set of collinear points A, B, C, and another set of collinear points a, b, c, then the intersechon points X, Y, Z of line pairs Ab andab, Ac and ac, Bc and bc are collinear. (Collinear means that the points lie on one line.) It holds in the projechve plane over any field, but fails for the projechve plane over any noncommutahve division ring. The dual of this theorem states that given one set of concurrent lines A, B, C, and another set of concurrent lines a, b, c, then the lines x, y, z defined by pairs of points resulhng from pairs of intersechons A b and a B, A c and a C, B cand b C are concurrent. (Concurrent means that the lines pass through one point.)

83 Pappus's theorem is a special case of Pascal's theorem for a conic, in the limihng case when the conic degenerates into 2 straight lines. The Pappus configurahon is the configurahon of 9 lines and 9 points that occurs in Pappus's theorem, with each line meehng 3 of the points and each point meehng 3 lines. This configurahon is self dual. Since, in parhcular, the lines Bc, bc, XY have the properhes of the lines x, y, z of the dual theorem, and collinearity of X, Y, Z is equivalent to concurrence of Bc, bc, XY, the dual theorem is therefore just the same as the theorem itself. The Levi graph of the Pappus configurahon is the Pappus graph, a biparhte distance- regular graph with 18 verhces and 27 edges. PROOF Choose projechve coordinates with C=(1,0,0), c=(0,1,0), X=(0,0,1), A=(1,1,1). On the lines AC, Ac, AX, given by x 2 =x 3, x 1 =x 3, x 2 =x 1, take the points B, Y, b to be B=(p,1,1), Y=(1,q,1), b=(1,1,r) for some p, q, r. The three lines XB, CY, cb are x 1 =x 2 p, x 2 =x 3 q, x 3 =x 1 r, so they pass through the same point a if and only if rqp=1. The condihon for the three lines Cb, cb and XY x 2 =x 1 q, x 1 =x 3 p, x 3 =x 2 r to pass through the same point Z is rpq=1. So this last set of three lines is concurrent if all the other eight sets are because mulhplicahon is commutahve, so pq=qp. Equivalently, X, Y, Z are collinear. The proof above also shows that for Pappus's theorem to hold for a projechve space over a division ring it is both suffient and necessary that the division ring is a (commutahve) field. German mathemahcian

84 Gerhard Hessenberg proved that Pappus's theorem impliesdesargues's theorem.[2] In general, Pappus's theorem holds for some projechve space if and only if it is a projechve space over a commutahve field. The projechve spaces in which Pappus's theorem does not hold are projechve spaces over noncommutahve division rings, and non- Desarguesian planes. The proof is invalid if C, c, X happen to be collinear. In that case one can choose instead C=(1,0,0), c=(0,1,0), Y=(0,0,1), X=(1,1,0), A=(0,a,0), a=(b,0,0) and derive Z=(a+b,a+b,1) showing again that X, Y, Z are collinear.

85 Other Statements of Pappus's Theorem In addihon to the above characterizahons of Pappus's Theorem and its dual, the following are equivalent statements: If the six verhces of a hexagon lie alternately on two lines, then the three points of intersechon of pairs of opposite sides are collinear. In a matrix of 9 points (as in the figure and descriphon above), if the first two rows and the six "diagonal" triads are collinear, then the third row is collinear. That is, if ABC, abc, AbZ, BcX, CaY, XbC, YcA, ZaB are lines, then Pappus's theorem states that XYZ must be a line. Also, note that the same matrix formulahon applies to the dual form of the theorem when (A,B,C) etc. are triples of concurrent lines. Given three dishnct points on each of two dishnct lines, pair each point on one of the lines with one from the other line, then the joins of points not paired will meet in (opposite) pairs at points along a line. If two triangles are doubly perspechve, then they are trebly perspechve. If AB, CD, and EF are concurrent and DE, FA, and BC are concurrent, then AD, BE, and CF are concurrent.

86 Pappus's centroid theorem (Guldin's theorem) In mathemahcs, Pappus' centroid theorem (also known as the Guldinus theorem, Pappus Guldinus theorem or Pappus' theorem) is either of two related theorems dealing with the surface areas and volumes of surfaces and solids of revoluhon. The theorem is anributed to Pappus of Alexandria and Paul Guldin. The first theorem states that the surface area A of a surface of revoluhon generated by rotahng a plane curve C about an axis external to Cand on the same plane is equal to the product of the arc length s of C and the distance d traveled by its geometric centroid. For example, the surface area of the torus with minor radius r and major radius R is The second theorem states that the volume V of a solid of revoluhon generated by rotahng a plane figure F about an external axis is equal to the product of the area A of F and the distance d traveled by its geometric centroid. For example, the volume of the torus with minor radius r and major radius R is

87 Pappus's Centroid Theorem The first theorem of Pappus states that the surface area of a surface of revoluhon generated by the revoluhon of a curve about an external axis is equal to the product of the arc length of the generahng curve and the distance traveled by the curve's geometric centroid, (Kern and Bland 1948, pp ). The following table summarizes the surface areas calculated using Pappus's centroid theorem for various surfaces of revoluhon. Solid generahng curve s x S Cone inclined line segment Cylinder parallel line segment h r Sphere semicircle

88 Similarly, the second theorem of Pappus states that the volume of a solid of revoluhon generated by the revoluhon of a lamina about an external axis is equal to the product of the area of the lamina and the distance traveled by the lamina's geometric centroid, (Kern and Bland 1948, pp ). The following table summarizes the surface areas and volumes calculated using Pappus's centroid theorem for various solids and surfaces of revoluhon. Solid generahng curve s x S Cone inclined line segment Cylinder parallel line segment Sphere semicircle

89 Pappus Chain Starhng with the circle P 1 tangent to the three semicircles forming the arbelos, construct a chain of tangent circles, P i all tangent to one of the two small interior circles and to the large exterior one. This chain is called the Pappus chain (leš figure). In a Pappus chain, the distance from the center of the first inscribed circle P 1 to the bonom line is twice the circle's radius, from the second circle P 2 is four hmes the radius, and for the n- th circle P n is 2n hmes the radius. Furthermore, the centers of the circles P i lie on an ellipse (right figure). If, r==ab/ac then the center and radius of the n- th circle P n in the Pappus chain are

90 HypaHa of Alexandria היתה ביתו של המתמטיקאי תיאון ועזרה בעריכת "האלמגסט" של תלמאי, "האלמנטים" "האריטמטיקה" של דיאופנטוס, ו-"קונוסים" של אפולוניוס. היתה ראש בית הספר האפלטוני באלכסנדריה. נרצחה ע"י כתה נוצרית שהאמינה שחקר המדעי הוא פגני..

91 #

92 תורת המספרים נושאים ללימוד 1. סדרות אריטמתיות (ליניאריות) Ax+B 2. חזקות ( k ) q וסדרות גיאומטריות ]ריבית דריבית, התרבות בקטריות[ 3. סכומי סדרות 4. יחסי מספרים, גורמים משותפים, מספרים ראשוניים 5. אלגוריטמים לחלוקה, להוצאת שרש 6. אינדוקציה 7. אלגברה 8. בניות גיאומטריות והוכחות תרגיל: מצא את המספר הראשוני הגדול ביותר הקטן מ- 10,000

93 למרות שאנו עדין בעולם העתיק, נסיים פרק זה בנגיעה בשני שטחים מודרניים בגיאומטריה: טופולוגיה, ופרקטאלים

94 טופולוגיה

95 הטופולוגיה עוסקת בתכונות גופים הנשמרות תחת עוותים (מתיחה וכווץ) שאינם מחברים או מנתקים את חלקי הגופים תכונה טופולוגית היא מספר החורים או מספר הקשרים. האם ניתן להפוך את הספל לטורוס?

96 האם ניתן להתיר קשר? האם ניתן להפוך ערימת חוט צמר לחוט ישר? צעדי ריידמייסטר להתרת קשרים בלי להשתמש בקצוות הצעד הראשון: פרימת לולאה עודפת הצעד השני: התרת זוג צמתים הצעד השלישי: הסעת לולאה מעל או מתחת צומת

97 בייגלה (טורוס) מול כדור איך נוכל להבדיל אם אנו נמלה קטנה? 1.טיול מהקטב בשני כוונים אנכיים האם המסלולים ייפגשו? 2. האם ניתן לסרוק את המשטח בכוון אחד האם העולם שלנו נסגר על עצמו?

98 טבעת מוביוס מה קורה כשגוזרים באמצע? - ציור הנמלים של אשר Escher-

99 בקבוקי קליין Klein האנלוג התלת ממדי לטבעת מוביוס טיילו על דפנות פנים הבקבוק וצאו החוצה

100 תכונות של גרפים (שימוש למבנה אינטרט) C C B B D D A A אוילר (1786): הגשרים של קניגסברג. האם ניתן לבקר בכל אזורי העיר מבלי לחצות אף גשר פעמיים? העביר בעיה לגרף:

101 מפת העיר קנינגסברג הנחל והגשרים הגרף שיצר אוילר אזורי העיר המוגבלים בנחל והגשרים ביניהם ניתן לצייר גרף מבלי להרים עט אם רק אין או שני קדקדים הם עם מספר איזוגי של צלעות ובהם מתחילים וגומרים הוכחה: מלבד התחלה וסוף מכל צומת שנכנסנו צריך לצאת (אולי כמה פעמים) צומת זוגית אם מתחילים וגומרים באותה צומת: כל הצמתות צריכות להיות זוגיות אם מתחילים בצומת אחת וגומרים באחרת: כל הצמתות זוגיות מלבד התחלה וסוף

102 מספר אוילר = מס קדקדים פחות מס צלעות ועוד מס משטחים = Verhces Edges + Faces לגרף מישורי = 2 χ הוכחה באינדוקציה: להוריד משולש עם צלע חיצונית (שני הקדקדים נשארו) להוריד משולש עם קדקד חיצוני ושתי הצלעות הקשורות אליו

103 כמה צבעים צריך כדי לצבוע מפה מבלי ששתי מדינות שכנות יופיעו באותו הצבע? ניסח את הבעיה פרנסיס גטרי (1852 Guthrie, (Francis (Alfred Kempe, 1879) אלפרד קמפה ניסה להוכיח שכל מפה אפשר לעוות למספר סופי של אפשרויות שניתן לצבוע ב- 4 צבעים יש טעות בהוכחה אך נוצרה הטופולוגיה אפל והאקן 1976) Haken, (Kenneth Appel and Wolfgang השתמשו במחשב ומיינו 1500 קונפיגורציות שניתן לעוות לכל המפות והצבועים ב- 4 צבעים הוכחה שניתן לצבוע ב- 5 צבעים: hnp://en.wikipedia.org/wiki/five_color_theorem נעביר מפה לגרף אוילר: כל ארץ-> קדקד וכל שתי ארצות עם גבול משותף->קו מחבר. רוצים שאף קו אינו מחבר שני קדקדים באותו הצבע

104 היטלי גופים תלת ממדיים מזוייפים

105 המדרגות שרק עולות של אשר (Maurits Cornelis Escher, )

106 מילוי המישור: 1. מילוי מלא - אריזה

107 2. אריזה לא מלאה ע"י פוליגונים רגולאריים וע"י פוליגונים לא רגולאריים

108 מילוי המרחב: אפשר למלא את המרחב בקוביות. האם יש עוד פוליטופ רגולארי שיכול למלא את המרחב? האם ניתן למלא עם צורות לא רגולאריות? רמז: חלק קוביה ל- 4 פירמידות יוהנס קפלר 1606 איך לארוז כדורים באופן היעיל ביותר? מילוי בקוביות (52%~) מילוי בהקסגונלים (~74% מהנפח) סיר וולטר רלי Raleigh) (Sir Walter איך לארוז כדורי תותח באוניה איך לארוז שזיפים בקופסת שימורים? איך לארוז אפרסקים? איך לארוז אבטיחים בארגז בשוק? סימולציה במחשב 1998) (Thomas Hales & Samuel P. Ferguson כולל תנאי שפה: הפתרון תלוי בקופסה!!!

109 פרקטאלים

110 פרקטאלים FRACTALS הגדרת פרקטאל פונקציה רצופה שאינה גזירה באף מקום. תחילה התנהגות פשוטה של ממדים D שלמים Ν=ε - D מימד אחד: כמה מקלונים הולכים וקצרים יכנסו ביחידת אור Shck=1 N=1 Shck=1/2 N=2 Shck=1/3 N=3 Shck=ε Ν=ε שני ממדים: כמה ריבועים הולכים וקטנים יכנסו בריבוע של יחידת שטח Square=1 N=1 Square=1/2 N=4 Square=1/3 N=9 Square=ε Ν=ε שלשה ממדים: כמה קוביות הולכות וקטנות יכנסו בקוביה של יחידת נפח Cube=1 N=1 Cube=1/2 N=8 Cube=1/3 N=27 Cube=ε Ν=ε - 3

111 במחשב רזולוציה) בכל לצייר (וניתן המוגדרים "סינטטיים" בגופים נמשיך n 6x (4/3) n 3x (4/3) n השלג? פתיתי הקף מה (5/3 2 ) n (4/2) n השחורים? שטח מה

112 הר? של הפנים שטח מהו השיפועים על אדמה וגרגרי ובאבנים מערות בסלעים, מתחשבים אם תלוי מתקצר המדידה שמקל ככל עולה אנגליה של החוף אורך מה 11.5 x 200 = 2300 km 28 x 100 = 2800 km 70 x 50 = 3500 km

113 -הקף פתיתי השלג של קוך Koch מספר הקוים ε N ~ ε=1,n=1; ε=1/3,n=4/3; ε=1/9,n=16/9; ε=1/27,n=65/27 ומכאן השם פרקטאל חזקה חלקית, לא שלמה

114

115 נספח

116 סיכום "גיאומטריה" של לדז'ינסקי מישור, מרחב, אנליטית, טריגונומטרי גיאומטריה (מתוך לדז'ינסקי, ספר לימוד משנות ה- 50 ) קו וזוית * דרך כל שתי נקודות (שאינן זהות) אפשר להעביר קו אחד בלבד מכאן: * לשני קוים נקודה משותפת אחת לכל היותר (נקודת החיתוך) נקודה על קו מחלקת אותו לשתי קרנים שתי נקודות על קו מגדירות קטע הגדרת סכום והפרש קטעים זוית בין שני קטעים עם קדקד משותף - שתי קרניים זויות קדקדיות שוות זו לזו

117 בעיות בניה בסרגל ומחוגה 1! 3! 2! חצית זוית,!4 4! 2! 3! אנך לנקודה על קו 1! 4! 2! 3! אנך לקו מנקודה שמחוץ לו 1!

118 זוית על קו נתון השוה לזוית נתונה קוים מקבילים אכסיומה: שני קוים מקבילים אינם נפגשים אכסיומה: דרך נקודה עובר רק קו אחד המקביל לקו נתון * זויות מתחלפות שוות - ולהפך: אם זויות שוות הקיום מקבילים. הוכחה

119 בנית קו מקביל לקו נתון העובר דרך נקודה - שימוש בזויות מתחלפות

120 בניה - חלוקת קטע ל- n חלקים שוים 3! 2 4! 1! 5! 6!

121 חיבור וחיסור

122 כפל xy כאשר נתונן אורך היחידה 1 בנה זוית FAG בנה AB==1 AD=y BC=x בנה ל- BD מקביל העובר דרך C ויוצר את הנקודה E xy=de הוכחה: המשולשים ABD ACE דומים, ולכן AE/AC =AD/AB ( y + z)/ ( 1 + x) = y/1 z=xy שימו לב: חיבור וחיסור גראפיים אינם תלויים באורך היחידה אך אורך הקטע השוה לכפל וחילוק תלוי בהגדרת היחידה!!!

123 חילוק נבנה AC=1 AE=y AB=x בנה מקביל ל- CE העובר דרך B ויוצר נקודה D AD=y/x הוכחה שוב בגלל משולשים דומים: AE/AC =AD/AB y/1 =z/x z=y/x

124 שרש ריבועי נבנה מעגל שמרכזו D ורדיוסו AD=DC האנך ל- AC העובר דרך B חותך את המעגל ב- E BE= x הוכחה: משולשים דומים ABE ו- EBC ולכן EB/BA = CB/BE AB*BC=BE^2 בעיות קשות יותר: חלוקת זוית לשלש בנית מעגל חוסם וחסום למשולש

125 מצולע (פוליגון), משולש, מרובע המשולש ומצולעים אחרים סכום הזויות הפנימיות והחיצוניות למשולש ומצולע זוית חיצונית במשולש שוה לסכום הזויות שאינן צמודות לה * משולש שוה שוקיים - זויות הבסיס שוות - הוכחה ע"י חלוקה לשני משולשים * משולש שוה צלעות - כל הזויות שוות - נובע מהנ"ל

126 * משולשים דומים - שתי זויות שוות (ולכן גם השלישית) * משולשים חופפים אם - 1. שתי זויות והצלע ביניהן שוים 2. שתי צלעות והזוית ביניהם שוים 3. שלש צלעות שוות הוכחה ע"י בניה פגישת תיכונים במשולש ב 2/3 האורך (מרכז הכובד) * שלשת התיכונים נפגשים בנקודה אחת * גם שלשת חוצי הזוית נפגשים בנקודה מאחר וכל נקודה על חוצי הזויות מרוחקת במידה שוה משתי הצלעות היוצרות את הזוית, הנקודה המשותפת לחוצה הזוית לצלעות a ו- b ולצלעות b ו- c נמצאת במרחק שוה מכל שלשת הצלעות ולכן היא נמצאת גם על חוצה הזוית לצלעות a ו- c

127 המעגל מעגל עקום, קו -מרכז אחת מנקודה שוה במרחק עליו נקודה שכל עקום - המעגל במעגל נקודות 2 על הנשען ומיתר-קו ממעגל) (חלק קשת במעגל זויות שוות מרכזיות ולזויות שוות הקפיות לזויות שייכות שוות קשתות C# (> על קשת עם >ACB לסמן (צריך ACB זוית נסמן N A B# (ACB) מיתר אותו על הנשענת הקפית מזוית כפולה (ANB) מרכזית זוית

128 מיתרים שוי אורך נמצאים במרחקים שווים מהמרכז דרך 3 נקודות שונות על מעגל לא ניתן להעביר קו זויות הקפיות שוות נשענות על קשתות שוות זויות הקפיות שוות נשענות על מיתרים שווים E# D C# C" D" E" A B# C# A" B" על מיתר שהוא קוטר נשענת זוית הקפית ישרה A B# כל הזויות הקפיות - שקדקדם נמצא על מעגל ונשענות על אותו המיתר (כגון ADB, AEB, (ACB שוות, ולהפך: המקום הגיאומטרי של הנקודות היוצרות עם מיתר זוית קדקדית שוה הוא מעגל שהמיתר שייך לו זוית הקפית שוה לחצי הזוית הנשענת על המיתר וקדקדה במרכז

129 זוית הנשענת על מיתר AB וקדקדה בתוך העיגול (כגון (ANB שווה לסכום שתי זויות הקפיות הנשענות על המיתרים הנחתכים מהמשכי הקרניים: AB ו- CD (או חצי סכום הזויןת המרכזיות הנשענות על הקשתות) הוכחה: ANB זוית חיצונית למשולש CNB זוית הנשענת על מיתר AB וקדקדה מחוץ למעגל (כגון (ALB שוה להפרש בין הזוית ההקפיות הנשענות על המיתרים שנחתכים ע"י הקרנים: FD ו- AB. רמז להוכחות: ADB זוית חיצונית למשולש ADL ולכן ADB=ALD+LAD ALD==ALB=ADB-LAD D C# L N F# D A B# A B#

130 משיק משיק למעגל הוא קו שיש לו רק נקודה אחת משותפת עם המעגל A B# C# * משיק למעגל אנכי למחוג (רדיוס) AC העובר בנקודת ההשקה A ולהפך: אנך לקו בנקודה בה הוא חוצה את המעגל משיק למעגל. הוכחה: לכל נקודה B (שאינה A) על הקו המרחק למרכז המעגל CB גדול מהרדיוס CA ולכן הוא מחוץ למעגל

131 בעיות בניה: בנית משיק למעגל בנקודה על המעגל: פתרון: בנית אנך לרדיוס B" A" בנית משיק למעגל מנקודה שמחוץ למעגל A פתרון: נבנה מעגל שרדיוסו AB ומרכזו ב- A והוא חותך את המעגל בשתי נקודות ההשקה הרצויות.

132 בנית מעגל המשיק לשתי הקרניים של זוית פתרון: כל מעגל שמרכזו על חוצה הזוית. נבנה לכן אנך לקרן ומרכז המעגל הוא נקודת החיתוך עם חוצה הזוית. אם רוצים מעגל עם רדיוס מסויים: בונים מקביל לקרן במרחק זה החותך את חוצה הזוית במרכז המעגל הרצוי. יש מעגל חסום יחיד לכל משולש (הנוגע בכל צלע בנקודה אחת) מרכזו במפגש חוצי הזוית.

133 שני מעגלים שני מעגלים (בציור קו קצוף ומקווקו) יכולים להפגש בשתי נקודות, בנקודה אחת, או באף נקודה אם שני מעגלים נוגעים בנקודה אחת הנקודה נמצאת על הקו המחבר מרכזיהם. הוכחה על דרך השלילה:

134 סימטריות שתי נקודות נקראות סימטריות לקו אם הקו המחבר אותן אנכי לקו הסימטריה ומרחקן ממנו שוה. מעגל סימטרי לעצמו עבור כל קוטר שלו. שטחים שטח ריבוע=אורךxרוחב שטח מקבילית=בסיסxגובה שטח משולש= 1/2 (בסיסxגובה) שטח משולש=חצי הקפו x רדיוס המעגל החסום שטח טרפז=ממוצע בסיסיו x גובהו

135 קטעים פרופורציוניים 3! 1! 2 5! 4! משולשים דומים 6! חלוקה הרמונית: :מבחוץ כך ש D,מבפנים AB מחלק את C CA/CB=DA/DB A" B" C" D" חוצה הזוית מחלק ב- C את הצלע AB מול הזוית ביחס השוה ליחס הצלעות הסמוכות. וחוצה הזוית החיצונית מחלק ב- D כנ"ל:

136 משפט אפולוניוס: המעגל (שקוטרו (RS הוא המקום הגיאומטרי של הנקודות L שמרחקיהן משתי נקודות,P Q מקיים יחס נתון. הוכחה: נחלק PQ בחלוקה הרמונית (מבפנים ובחוץ) ביחס הנתון בנקודות R,S L" P" R""""Q"Q """"""""""S"

137 משפט מנלאוס: ישר חותך צלעות משולש או המשכיהן כנ"ל אז קיים: AP/BP.BR/CR.CQ/QA=1 וההפך, אם קיים השוויון הנקודות PQR על קו אחד C" R" C" R" Q" B" P" A" B" A" P" Q"

138 שני מיתרים הנחתכים בתוך מעגל מקיימים QA*QB=QC*QD שני מיתרים הנחתכים מחוץ למעגל - כנ"ל לכן המכפילה גם שוה לריבוע אורך המשיק למעגל מנקודה Q D B" D B" A" Q" C" A" C" Q"

139 משפט תלמאי: במרובע החסום במעגל מכפילת האלכסונים שוה לסכום מכפילות הצלעות הנגדיות

140 דמיון משולשים ומצולעים סגולות מטריות של המשולש משולש ישר זוית נחלק, ע"י הגובה המורד על היתר, לשני משולשים הדומים לו במשולש ריבוע הצלע שמול זוית חדה שוה לסכום ריבועי שאר הצלעות פחות פעמים מכפילתם כפול cos הזוית ביניהן (או מכפילת צלע אחת a בהיטל השניה עליה 'b) c 2 =a 2 +b 2-2ab cos(acb) נוסחת הירון: שטח משולש לפי שלשת צלעותיו A=sqrt[p(p- a)(p- b)(p- c)] p=(a+b+c)/2 c " a " b " b "

141 שטח גיזרה=חצי הרדיוסxאורך הקשת שטח גיזרה=חצי הרדיוס בריבועxהזוית ברדיאנים

142 נוסחאות לחישוב מצולעים משוכללים ומעגל

143 * - הגדרות 1 מרחב, מישור, דרכי קביעת המישור: א. על ידי שני ישרים נחתכים. ב. על ידי שני ישרים מקבילים. ג. על ידי 3 נקודות שאינן על קו ישר אחד. ד. על ידי ישר ונקודה מחוצה לו. גיאומטריה מרחבית.2 שלושת המצבים ההדדיים של שני ישרים במרחב: א. נחתכים. ב. מקבילים. ג. מצטלבים. ישר נמצא במישור אם שתי נקודות עליו נמצאות על המישור. דרך קו ישר ונקודה (שאינה על הקו) עובר מישור יחיד.

144 שני ישרים חותכים קובעים מישור. שני ישרים מקבילים קובעים מישור. שני מישורים מקבילים - הם ללא ישר משותף. * נקודת החיתוך של ישר עם מישור (שאינו מקביל לו) נקראת עקב. ישר שאינו במישור ומקביל לאחד הישרים במישור מקביל למישור. אם לשני מישורים נקודה משותפת יש להם ישר משותף (מישורים נחתכים). שני ישרים שאינם במישור אחד נקראים מצטלבים. שני ישרים המקבילים לישר שלישי מקבילים זה לזה. ישר מאונך למישור אם הוא מאונך לשני ישרים במישור העוברים דרך עקיבו. כל הישרים העוברים דרך נקודה על ישר ואנכיים לו נמצאים במישור אחד. דרך נקודה במישור עובר אנך אחד למישור. דרך נקודה שמחוץ למישור ניתן להעביר ישר יחיד המאונך למישור

145 המרחק בין הנקודה וחיתוך האנך עם המישור הוא מרחק הנקודה מהמישור (והוא המרחק המינימאלי בין הנקודה לכל נקודה במישור). שני אנכים למישור מקבילים ביניהם. שני מישורים האנכיים לישר מקבילים זה לזה. מישור חותך מישורים מקבילים בישרים מקבילים. כל הנקודות הנמצאות במרחק שוה ממישור מונחות על מישור מקביל. שתי זויות במרחב ששוקיהן מקבילות - שוות או סכומן 180 מעלות. * הטל של נקודה על מישור: חיתוך עם המישור של אנך למישור דרך הנקודה.

146 למישור. אנכי שאינו קו הוא למישור משופע M" K" N" O" O " L" במישור הקוים מכל המינימאלית הזוית היא להיטלו משופע בין הזוית העקב. דרך העוברים להטלו. גם מאונך למשופע ומאונך במישור העובר ישר למישור. מאונכים דרכו העוברים המישורים כל למישור, המאונך קו את המכיל מישור נבנה כדלכמן: שייבנה OO ' הוא ו- MN KL מצטלבים קוים שני בין הרוחק על MN של ההיטל ל- MN ). מקביל והוא KL על אחת שנקודה קו כל (ע"י ל- MN ומקביל KL O בנקודה MN את שיחתוך למישור אנך ממנה נעלה. O ' בנקודה KL את יחתוך זה מישור O) ' הוא (שהטילה

147 * זוית הפינה שיוצרים שני מישורים נחתכים היא הזוית המינימאלית שבין כל שני ישרים בשני המישורים העוברים בנקודה בישר החיתוך. בניה: מכל נקודה מורידים שני אנכים לשני המישורים ומעקבם מורידים שני אנכים לישר החיתוך בין המישורים- זוית הפינה היא הזוית ביניהם. שני מישורים מקבילים יוצרים אותה זוית פינה עם כל מישור החותך אותם (המקבילה המרחבית לזויות מתחלפות). מישור העובר דרך ישר המאונך למישור שני גם הוא מאונך למישור השני ישר הנמצא במישור ומאונך לחיתוכו עם מישור שני מאונך למישור השני ישר החיתוך של שני מישורים המאונכים למישור שלישי - מאונך לשלישי

148 פינה משולשת - ראש דלתון מנסרה וגליל - חישוב שטח פנים ונפח (שטח בסיס x גובה) פירמידה וחרוט - חישוב שטח פנים ונפח (1/3 שטח בסיס x גובה) חרוט קטום - נפח= 1/6 (שטח בסיס + שטח תקרה) x גובה

149 גולדין משפט ראה - סיבוב גופי 4π R 2 כדור פני שטח 4/3 π R 3 נפח כדור מעגל. - ומישור כדור חיתוך גדול. מעגל - הכדור במרכז העובר ומישור כדור חיתוך לכדור משיק מישור אחד כדור רק להעביר ניתן מישור על שאינן נקודות 4 דרך - כדורי משולש גדולים) מעגלים משני (נבנה סהרון לעיל ראה - עולם מפות והטלי פרספקטיבה

150 סיכום קלעי תוחמן, ספר לימוד משנות ה- 50 טריגונומטריה במשולשים דומים היחסים בין אורכי הצלעות שוים במשולשים ישרי זוית יחסים אלה תלויים רק בזוית הקדקדית. היחסים השונים מגדירים את הפונקציות הטריגונומטריות. הפונקציות האלה מאפשרות ממדידת זוית ואורך צלע אחת לקבל את אורכי שאר הצלעות c" α b" a" ההגדרות הן כדלקמן: יחס sinα=a/c= יחס הניצב מול הזוית לניצב ליד הזוית (טנגנס) tgα=a/b= הניצב מול הזוית למיתר (סינוס) יחס הניצב ליד הזוית למיתר (קוסינוס) cosα=b/c= שימוש: מדידת גובה עץ בלי לטפס עליו. נמדוד זוית של ראש העץ, נקבל את ערך ה- tan שלה ונכפיל במרחק מהעץ. נראה בפרק "אסטרונומיה" איך נמדדו רדיום כדור הארץ והמרחק לירח בעזרת היחסים של משולשים דומים (בטרם המונח "טריגונומטריה" היה קיים).

151 כמה יחסים בין הפונקציות הטריגונומטריות: נובע ישירות מההגדרות לעיל) קוסינוס -α) cosα=sin(90 0 טנגנס tgα=sinα/cosα ממשפט פיטגורס נובע: sin 2 α+cos 2 α = 1 כמה ערכים מיוחדים: sin0 0 =0 cos0 0 =1 sin30 0 =0.5 cos60 0 =0.5 sin45 0 =cos45 0 = 2/2 tg45 0 = 1 כמה פונקציות נוספות: קוטנגנס ctgα=1/tgα סקנס secα=1/cosα קוסקנס cosecα=1/sinα ולכן: 1+ctg 2 α=1/cos 2 α=sec 2 α 1+tan 2 α=1/cos 2 α=sec 2 α

152 איך חישבו הקדמונים את הפונקציות הטרגונומטריות? דרך נסיונית - מדידה. הדיוק קטן דרך חישובית - שימוש בנוסחאות סכום וחצי זוית: sin(α/2)=± [(1- cosα)/2] cos(α/2)=± [(1+cosα)/2] tg(α/2)= ± [ (1- cosα)/(1+cosα) ] sin2α=2sinα cosα cos2α=cos 2 α - sin 2 α sin(α+ß)=sinα cosß + cosα sinß sin(α- ß)=sinα cosß - cosα sinß cos(α+ß)=cosα cosß - sinα sinß cos(α- ß)=cosα cosß + sinα sinß tg(α+ß)=(tgα+tgß)/(1+tgα tgß) sinα +sinß = 2sin[(α+ß)/2]cos[(α- ß)/2] cosα +cosß = 2cos[(α+ß)/2]cos[(α- ß)/2]

153 הרחבת הפונקציות הטריגונומטריות לכל זוית תואמת את הקשרים שלעיל ומקיימים: tg(-α)=-tgα sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα התיאור הגראפי של הפונקציות:

154 α, ß, γ זויות בהתאמה ומולן a,b,c צלעות משולש, לכל הסינוסים משפט a/sinα=b/sinß=c/sinγ פיטגורס) למשפט הרחבה (מעין הקוסינוסים: משפט c 2 =a 2 +b 2-2ab cosγ

155 השטח בין פרבולה וקו הוא פי 4/3 משטח המשולש המצוייר הוכחה:

156 re_of_the_parabolaאוילרhnp://en.wikipedia.org/wiki/the_quadr Archimedes gives two proofs of the main theorem. The first uses abstract mechanics, with Archimedes arguing that the weight of the segment will balance the weight of the triangle when placed on an appropriate lever. The second, more famous proof uses pure geometry, specifically the method of exhaushon. Of the twenty- four proposihons, the first three are quoted without proof from Euclid's Elements of Conics (a lost work by Euclid on conic sechons). Proposihons four and five establish elementary properhes of the parabola; proposihons six through seventeen give the mechanical proof of the main theorem; and proposihons eighteen through twenty- four present the geometric proof.

157 DissecHon of the parabolic segment Archimedes' dissechon of a parabolic segment into infinitely many triangles. The main idea of the proof is the dissechon of the parabolic segment into infinitely many triangles, as shown in the figure to the right. Each of these triangles is inscribed in its own parabolic segment in the same way that the blue triangle is inscribed in the large segment. Areas of the triangles In proposihons eighteen through twenty- one, Archimedes proves that the area of each green triangle is one eighth of the area of the blue triangle. From a modern point of view, this is because the green triangle has half the width and a fourth of the height:[1] By extension, each of the yellow triangles has one eighth the area of a green triangle, each of the red triangles has one eighth the area of a yellow triangle, and so on. Using the method of exhaushon, it follows that the total area of the parabolic segment is given by

158 Here T represents the area of the large blue triangle, the second term represents the total area of the two green triangles, the third term represents the total area of the four yellow triangles, and so forth. This simplifies to give Sum of the series Archimedes' proof that 1/4 + 1/16 + 1/ = 1/3 To complete the proof, Archimedes shows that The formula above is a geometric series each successive term is one fourth of the previous term. In modern mathemahcs, that formula is a special case of the sum formula for a geometric series. Archimedes evaluates the sum using an enhrely geometric method,[2] illustrated in the picture to the right. This picture shows a unit square which has been dissected into an infinity of smaller squares. Each successive purple square has one fourth the area of the previous square, with the total purple area being the sum

159 פילוסופים יוניים (שלא עסקו ישירות במדעי הטבע) סקפטיסיזם פירו Pyrrho of Elis (ca B.C.) - Skepticism נהנתנות אפיקורוס Epicurus ( BC) - pleasures of life סטויכיזם זנו Zeno of Citium ( BC) - Stoicism דיוגנס ציניות Diogenes of Synope (c BC) cynisism בן דורם של אפלטון ואריסטו, ותלמידו של אנתיסטנס. ציניות אינה מה שאנו קוראים היום ציניות. הטיף ליושר פנימי/אישי במקום אובדן היושר הציבורי ביוון. שוטט ברחובות אתונה עם מנורה ביום בחיפוש אחרי אדם ישר. עבר לגור בחבית וזרק את החפץ האחרון שלו - כוס, אחרי שראה איכר השותה מים בידיו. כשאלכסנדר הגדול בא אליו ושאל מה יוכל לעשות בשבילו ענה " אנא זוז מהשמש המאירה עלי"